Борис Александрович Покровский родился 23 января 1912 года в Москве.
В 1938 году окончил ГИТИС имени А. В. Луначарского.
В 1937 году, после окончания института, был направлен в Горьковский государственный теат¬р оперы и балета имени А. С. Пушкина. Дипломный спектакль — опера «Кармен» — стал в том же году его режиссёрским дебютом. В 1938—1943 годах был режиссёром (с 1940 — главным режиссёром) театра. В 1943 году перешёл в Большой театр. В 1952, 1955—1963 и 1970—1982 годах — главный ре¬жиссёр Большого театра, где поставил 41 спектакль.
Всего поставил более 180 спектаклей.
С 1949 года преподаёт в ГИТИСе на кафедре музыкального театра. С 1954 года — профессор, с 1959 года — заведующий кафедрой музыкального театра.
В 1972 году основал московский Московский камерный музыкальный театр, получивший в 1997 году к 25-летию звание «Академического». Поставил здесь 75 произведений, из них — древнейшую русскую оперу XVII века «Ростовское действо» (1982) и одну из первых итальянских опер XVI века — «Эвридику» Якопо Пери (1994), а также «Похождения повесы» И. Ф. Стравинского — первая постановка в России, «Дирижёр оркестра» Д. Чимарозы, «Жизнь с идиотом» А. Г. Шнитке и другие.
Много работал за рубежом. Он был первым постановщиком опер, получивших всеобщую известность, — «Война и мир» С. С. Прокофьева в Софийской народной опере (1957), «Огненный ангел» в Праге (1981).