Марис Рудольф Эдуардович Лиепа родился 27 июля 1936 года в Риге, Латвия. По совету друга отца (директора балетной студии), в целях укрепления здоровья, родители отдали сына в балетную студию при Латвийской опере, впоследствии преобразованную в Рижское хореографическое училище. Перспективного ученика Рижского училища перевели в Московское хореографическое училище (МХУ). Перевод состоялся в 1953 году: два последних года М. Лиепа учился в МХУ в классе Николая Тарасова, ученика Н. Легата.
В 1955 году М. Лиепа с отличием окончил Московское хореографическое училище и получил неожиданное приглашение от Майи Плесецкой принять участие в гастрольной поездке в Будапешт, выступив в роли Зигфрида в "Лебедином озере".
Летом 1956 года М. Лиепа принял приглашение поступить в труппу второго балетного театра Москвы - Московского музыкального театра имени К.С. Станиславского и В.И. Немировича-Данченко. В этой труппе он проработал четыре сезона, сразу же получив ведущее положение. В 1960 году М. Лиепа получил приглашение от главного балетмейстера Большого театра СССР Л. Лавровского поступить в труппу ведущего балетного театра страны. В начале сезона 1960-1961 годов в партии Базиля в "Дон Кихоте" состоялся его официальный дебют на сцене Большого театра.
После опубликованной в 1979 году в газете "Правда" статьи М. Лиепы с критикой методов руководства театром Ю.Н. Григоровичем около двух лет ему не давали танцевать на сцене Большого театра. В этот период М. Лиепа активно сотрудничал с новой балетной труппой под руководством Бориса Эйфмана: в 1981 году он станцевал Рогожина в "Идиоте" Бориса Эйфмана и солиста в его же "Автографах" вместе с Аллой Осипенко.
В 1989 году Моссовет принял решение о создании Балетного театра Мариса Лиепы, художественное руководство которым должен был осуществлять сам Лиепа, а бывший ведущий характерный артист Большого театра Сергей Радченко должен был стать директором.
Марис Лиепа скончался в Москве 26 марта 1989 года.