Родился Андрей Эшпай 15 мая 1925 года в городе Козьмодемьянск (ныне Республика Марий Эл).
Участник Великой Отечественной войны.
В 1953 году окончил Московскую консерваторию по классу композиции и фортепиано.
Автор балетов: «Ангара» (по пьесе А. Н. Арбузова «Иркутская история», 1976, Большой театр), «Круг» (1980), «Помните!» (1981); кантаты «Ленин с нами» (1968), четырех симфоний (1959, 1962, 1965, 1978), симфонических танцев на марийские темы (1952), концертов для оркестра (1967), для фортепьяно с оркестром (1954, 1972), для скрипки с оркестром (1956, 1977), «Венгерских напевов» для скрипки с оркестром (1953), увертюры-фантазии для оркестра «Переход Суворова через Альпы» (1996), камерных ансамблей, эстрадных песен (свыше 100) и множества других произведений.
Писал музыку к спектаклям драматического театра и кинофильмам.
С 1960 года - секретарь, в 1973-1979 годы - 1-й секретарь СК РСФСР, с 1968 года - секретарь СК СССР. Президент Российского авторского общества.
В 1965-1970 годах преподавал композицию в Московской консерватории (профессор).
Выступает как пианист с исполнением своих произведений.